ВРД 39-1.10-004-99 стр.3 Рис. П2.1.

 

В главных координатах инварианты (П2.1) выражаются через главные напряжения (деформации):

                       (П2.2)

Наряду с инвариантами JI, JII, JIII или главными напряжениями (деформациями) могут быть введены и другие системы инвариантных величин, вполне определяющих соответствующий тензор и не зависящих от поворота осей координат. Инварианты одной системы могут быть выражены через инварианты другой.

Тензор напряжений  (равно как и любой симметричный тензор второго ранга) можно представить в виде суммы тензора гидростатического напряжения  и девиатора (отклонения от гидростатического состояния)  

                                 (П2.3)

где

                                                  (П2.4)

                                             (П2.5)

В главных осях гидростатические и девиаторные компоненты записываются в виде

                                                        (П2.6)

                                           (П2.7)

Основными свойствами девиатора , являются его независимость от гидростатической составляющей  и равенство нулю суммы диагональных компонент:

                    (П2.8)

 

 

Рис. П2.1. Напряженное состояние в пространстве главных напряжений

 

П2.2. Произвольному напряженному состоянию в пространстве главных напряжений соответствует точка S с координатами , ,  (рис. П2.1) и вектор . Проведем через начало координат ось  равнонаклоненную к каждой из осей , ,  (гидростатическую ось) и плоскость Р перпендикулярную оси  — девиаторную плоскость. Введем в девиаторной плоскости Р оси  и  причем ось  направим вдоль проекции оси  на девиаторную плоскость, а ось  перпендикулярно оси  так, чтобы , ,  образовывали правую тройку. Вектор  может быть представлен в виде суммы вектора ОМ, направленного вдоль гидростатической оси  и вектора , лежащего в девиаторной плоскости Р. В свою очередь вектор  раскладывается на векторы OF и ОТ, направленные вдоль осей  и соответственно. Проекции вектора  будут равны:

                                                                        (П2.9)

                                                   (П2.10)

                                                    (П2.11)

                                                      (П2.12)

Проекции , ,  (П2.9)-(П2.11) содержат только компоненты девиатора, а  — только гидростатическую составляющую тензора напряжений.

Главные напряжения выражаются через компоненты , ,  в виде

                                                    (П2.13)

Помимо системы , ,  введем сферическую систему координат , , :

                                                            (П2.14)

где — длина вектора ,  — угол между вектором  и гидростатической осью ,  — длина вектора ,  — угол между вектором  и осью  (угол подобия девиатора напряжений). Параметры , ,  могут использоваться как система инвариантов тензора напряжений. Эти параметры определяются через инварианты JI, JII, JIII по следующим формулам:

                            (П2.15)

Таким образом, ,  характеризуют уровень гидростатической и девиаторной составляющих тензора напряжений, а угол  — вид девиатора.

Для главных напряжений запишем:

                                                  (П2.16)

Соотношения (П2.3)-(П2.16) полностью применимы и к тензору деформаций, и к любому другому симметричному тензору второго ранга.

Во многих приложениях пользуются гидростатическим напряжением  (П2.4) и интенсивностью напряжений , равной

                                                                   (П2.17)

В этом случае уравнения (П2.16) записываются, с учетом (П2.9), (П2.12), в виде

                                                         (П2.18)

Интенсивность деформаций  принято определять как

                                                                   (П2.19)

Здесь через e1, e2, e3 обозначены главные компоненты девиатора деформаций. Главные деформации будут равны:

                                                         (П2.20)

П2.3. В нагруженном теле напряжения и деформации связаны друг с другом, причем в общем случае весьма сложным образом. При решении задач механики деформируемого твердого тела применяются различные теории, базирующиеся на тех или иных предположениях об уравнениях связи между напряжениями и деформациями (уравнениях состояния). Для металлических конструкций используются теория упругости, деформационная теория пластичности, теория течения. В дальнейшем мы будем ориентироваться на простейшие соотношения теорий упругости и упруго-пластических деформаций. Уравнения состояния сводятся к следующим:

                                                                       (П2.21)

                                                                     (П2.22)

                                                            (П2.23)

где         k — модуль объемного расширения,

 — упруго-пластический модуль сдвига:

                                                                       (П2.24)

определяемый по диаграмме деформирования . При напряжениях  меньших, чем предел текучести , т.е. при упругом деформировании, уравнение (1.22) записывается в виде

                                                                        (П2.25)

где m — упругий модуль сдвига. При  связь между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций для многих конструкционных материалов удовлетворительно описывается степенной функцией:

                                                                  (П2.26)

при 

при

где          — предел текучести,

 — интенсивность деформаций, соответствующая пределу текучести,

т — коэффициент упрочнения.

Для степенной диаграммы деформирования (П2.26) модуль сдвига  равен:

                                                                (П2.27)

при  

при

Используя уравнения (П2.21)-(П2.23) получаем соотношения, связывающие компоненты напряжений и деформаций:

                                     (П2.28)

                                         (П2.29)

Уравнения состояния могут быть существенно сложнее введенных формулами (П2.21)-(П2.23), однако общим остается функциональная (иногда в виде дифференциальных уравнений) связь между напряжениями и деформациями в нагруженном теле.

 


ПРИЛОЖЕНИЕ 3

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ТРУБЕ С ПОВЕРХНОСТНЫМИ ДЕФЕКТАМИ

 

П3.1. Распределение напряжений и деформаций на участке трубы с поверхностным дефектом (рис. 3.1) оказывается весьма сложным и зависящим от многих параметров (диаметр трубы, толщина стенки, размеры дефекта, кольцевые и продольные номинальные напряжения).

Аналитическое решение в общем случае получить невозможно, поэтому был проведен конечно-элементный анализ в широком диапазоне соотношений размеров труб и дефектов

отдельно для кольцевых и продольных напряжений. Примеры такого анализа в виде уровней концентрации напряжений при  приведен на рис.П3.1 для кольцевых (рис. П3.1, а) и продольных напряжений (рис. П3.1, б).

П3.2. Уровень нагруженности можно охарактеризовать коэффициентами концентрации кольцевых  и продольных  напряжений, возникающих в дефектной зоне:

                                              (П3.1)

где и  — наибольшие значения кольцевых и продольных напряжений соответственно.

П3.3. Зависимости коэффициентов концентрации кольцевых  и продольных  напряжений от размеров дефектов приведены на рис. П3.2.

     

 

 

Рис. П.3.1. Пример конечно-элементного решения о распределении напряжений в области

дефекта в виде коэффициентов концентрации напряжений: а — кольцевых; б — продольных

 

 

Рис. П3.2. Зависимости коэффициентов концентрации напряжений от размеров дефектов:

а — кольцевые напряжения;

б — продольные напряжения

 

С достаточной точностью (погрешность не более 1%) эти зависимости могут быть аппроксимированы формулами:

                            (П3.2а)

где

                        (П3.2б)

 

 


ПРИЛОЖЕНИЕ 4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ У ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ МЕТОДОМ ЛОКАЛЬНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ

 

П4.1. В методе локальных деформаций [4, 5] считается, что процессы деформирования, накопления повреждений, разрушения происходят в некотором небольшом, но конечном объеме металла (здесь существует аналогия с понятием "структурного элемента"). В качестве такого "элементарного объема" принят мысленно выделенный в металле шар радиуса r;

r- характерный размер, отражающий чувствительность металла к концентрации напряжений.

Считается, что напряженно-деформированное состояние шара контролируется перемещениями  его границы S. По значениям перемещений вычисляются осредненные по объему производные .

                                                         (П4.1)

и деформации

                                                       (П4.2)

В общем случае определение перемещений  и деформаций  требует применения численных методов, однако при рассмотрении области вблизи вершины трещины возможны некоторые упрощения.

П4.2. Для трещины нормального отрыва перемещения вблизи вершины определяются по формулам [7]

                                   (П4.3)

для случая плоской деформации или

                              (П4.4)

для плоского напряженного состояния.

Здесь     KI коэффициент интенсивности напряжений,

m — модуль упругости при сдвиге,

n — коэффициент Пуассона,

r и q — полярные координаты рассматриваемой точки.

Если центр шара расположен на продолжении трещины на расстоянии r, то при подстановке (П4.3) или (П4.4) в (П4.1) и (П4.2) получим для e* при плоской деформации:

                                         (П4.5)

при плоском напряженном состоянии:

                                         (П4.6)

По деформациям  определяются соответствующие напряжения  при плоской деформации:

                                (П4.7)

при плоском напряженном состоянии:

                                (П4.8)

П4.3. Используемые в расчетах соотношения пп.4.4-4.7 построены по формулам (П4.7), (П4.8) с учетом зависимости коэффициента интенсивности напряжений KI от формы и размеров трещины, размеров трубы, номинальных напряжений [7-9].

 

 


ПРИЛОЖЕНИЕ 5

КРИТЕРИИ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ МЕТАЛЛА

 

П5.1. Выбор критериев предельных состояний материала состоит в построении некоторой функции от компонентов напряжений и деформаций и сопоставлении значений этой функции для действующего напряженно-деформированного состояния с критическими значениями, характеризующими свойства материала:

                                               (П5.1а)

Когда определена связь между напряжениями и деформациями, для построения критерия достаточно только напряжений или только деформаций

                                                             (П5.1б)

или

                                                              (П5.1в)

Для пластичных металлов целесообразно использовать деформационные критерии (П5.1в).

П5.2. При статическом нагружении разрушение металла связывают с исчерпанием его деформационной способности [3]. Основная доля деформирования приходится на пластические деформации, связанные с формоизменением (характеризуется интенсивностью пластических деформаций ), однако уровень пластического деформирования, при котором происходит разрушение, весьма существенно зависит от объемности напряженно-деформированного состояния. Объемность напряженно-деформированного состояния можно оценивать различными параметрами [3], но наиболее естественным представляется объемная деформация. В таком случае, критерий разрушения можно представить в виде

                                                                   (П5.2а)

Анализ данных многочисленных экспериментов показывает, что с точностью, соответствующей точности определения механических свойств, связь между  и  в (П5.2а) линейна, т.е. критерий (П5.2а) можно записать в виде уравнения прямой линии (рис.П5.1):

,                                                                  (П5.2б)

Рис. П5.1. Деформационные критерии предельных состояний металла

 

где          разрушающая объемная деформация (при ),

 — разрушающая интенсивность деформаций (при  = 0).

П5.3. Значительное формоизменение при упруго-пластическом деформировании может привести к уменьшению размеров элемента металла и исчерпанию его несущей способности еще до разрушения (Типичный пример — образование "шейки" при одноосном растяжении).

После того, как такое состояние достигнуто, дальнейшее деформирование происходит без увеличения нагрузки, неустойчиво. Очевидно, что, хотя металл еще некоторое время сохраняет свою целостность, момент исчерпания несущей способности, даже в ограниченном объеме металла, следует считать недопустимым предельным состоянием.

П5.3.1. Рассмотрим элемент металла в виде кубика  под действием напряжений . В результате нагружения кубик превратится в параллелепипед с размерами . Усилие , передаваемое через элемент металла в направлении наибольшего напряжения , будет равно:

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *